Question

4．阅读材料：若a，b都是非负实数，则a+b≥2$\sqrt{ab}$．当且仅当a=b时，“=”成立．
证明∵（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）²≥0，∴a-2$\sqrt{ab}$+b≥0．∴a+b≥2$\sqrt{ab}$．当且仅当a=b时，“=”成立．
（1）已知x＞0，求函数y=2x+$\frac{2}{x}$的最小值．
（2）问题解决：
汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度．某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（$\frac{1}{18}$+$\frac{450}{{x}^{2}}$）升．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y升．
①求y关于x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；
②求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位）．

Answer 1

分析 （1）根据y=2x+$\frac{2}{x}$≥2$\sqrt{2x×\frac{2}{x}}$=4．得到当且仅当2x=$\frac{2}{x}$，即x=1时，“=”成立．从而确定当x=1时，函数取得最小值，y_最小=4；
（2）①根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可；
②经济时速就是耗油量最小的形式速度．

解答 解：（1）y=2x+$\frac{2}{x}$≥2$\sqrt{2x×\frac{2}{x}}$=4．当且仅当2x=$\frac{2}{x}$，即x=1时，“=”成立．
当x=1时，函数取得最小值，y_最小=4；
（2）①∵汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（$\frac{1}{18}$+$\frac{450}{x2}$）升，
∴y=x×（$\frac{1}{18}$+$\frac{450}{x2}$）=$\frac{x}{18}$+$\frac{450}{x}$（70≤x≤110）；
②根据材料得：当$\frac{x}{18}$=$\frac{450}{x}$时有最小值，
解得：x=90，
经检验x=90是原方程的解，
∴该汽车的经济时速为90千米/时；
当x=90时百公里耗油量为100×（$\frac{1}{18}$+$\frac{450}{8100}$）≈11.1（升）．

点评 考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题目提供的材料，易错点是了解“耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度”，难度中等偏上．