Question

19．如图，已知△ABC的面积为16，BC=8．现将△ABC沿直线BC向右平移a（a＜8）个单位到△DEF的位置． 
（1）求△ABC的BC边上的高；
（2）连结AE、AD，设AB=5．
①求线段DF的长；
②当△ADE是等腰三角形时，求a的值．

Answer 1

分析 （1）如图1过点A作AM⊥BC于点M，由三角形的面积公式求得△ABC的BC边上的高是8；
（2）①在R_t△AMB中，由勾股定理求得BM=$\sqrt{{AB}^{2}{-AM}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}{-4}^{2}}$=3，得到CM=BC-BM=8-3=5，在R_t△AMC中，由勾股定理求得AC=$\sqrt{{CM}^{2}{+AM}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}{+4}^{2}}$=$\sqrt{41}$，得到DF=AC=$\sqrt{41}$；②如图2当△ADE是等腰三角形时，分三种情况讨论：当AD=DE时，a=5，当AE=DE时，因为AB=DE，得到AB=AE，BE=2BM=6，求得a=6；当AE=AD时，在R_t△AME中，AM=4，AE=a，ME=a-3，由勾股定理得：4²+（a-3）²=a²，解得：a=$\frac{25}{6}$，

解答 解：（1）如图1过点A作AM⊥BC于点M，
∵△ABC的面积为16，BC=8，
∴$\frac{1}{2}$×8×AM=8，∴AM=4，
∴△ABC的BC边上的高是4；

（2）①在R_t△AMB中，BM=$\sqrt{{AB}^{2}{-AM}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}{-4}^{2}}$=3，
∴CM=BC-BM=8-3=5，
∴在R_t△AMC中，AC=$\sqrt{{CM}^{2}{+AM}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}{+4}^{2}}$=$\sqrt{41}$，
∴DF=AC=$\sqrt{41}$，
②如图2当△ADE是等腰三角形时，有三种情况：
 当AD=DE时，a=5，
 当AE=DE时，又∵AB=DE，
∴AB=AE，
∴BE=2BM=6，∴a=6；
当AE=AD时，在R_t△AME中，
AM=4，AE=a，ME=a-3，
由勾股定理得：4²+（a-3）²=a²，
解得：a=$\frac{25}{6}$，
综上所述，当△ADE是等腰三角形时，a的值为5或6或$\frac{25}{6}$．

点评 本题考查了等腰三角形的判定和性质，平移的性质，勾股定理得应用，特别是（2）②要分类讨论否则容易漏解．