Question

19．2015年6月27日，四川共青图雨城区委在中里镇文化馆举办了第二期青年剪纸培训，参加培训的小王想把一块Rt△ABC废纸片剪去一块矩形BDEF纸片，如图所示，若∠C=30°，AB=10cm，则该矩形BDEF的面积最大为（　　）

• A． 4$\sqrt{3}$cm³
• B． 5$\sqrt{3}$cm³
• C． 10$\sqrt{3}$cm³
• D． 25$\sqrt{3}$cm³

Answer 1

分析 先根据锐角三角函数的定义求出BC的长，根据EF∥BC可知△AEF∽△ACB，故∠AEF=∠C=30°，
设EF=x，则AF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，故AB=10-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，再由矩形的面积公式即可得出结论．

解答 解：∵Rt△ABC中，∠C=30°，AB=10cm，
∴BC=$\frac{AB}{tan30°}$=$\frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=10$\sqrt{3}$cm．
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠C=30°，
设EF=x，则AF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴BF=10-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴S_矩形BDEF=BD•BF=x•（10-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+10x（0＜x＜10$\sqrt{3}$），
∴当x=-$\frac{10}{2×\frac{\sqrt{3}}{3}}$=5$\sqrt{3}$时，S最大=$\frac{-{10}^{2}}{4×（-\frac{\sqrt{3}}{3}）}$=25$\sqrt{3}$cm²．
故选D．

点评 本题考查的二次函数与三角函数的应用，根据题意列出关于x的二次函数，利用二次函数的最值问题求解是解答此题的关键．