Question

20．如图，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，连接BD，F是BD的中点，连接CF并延长至G，使FG=CF，连接EC，CE=10，CF=4，EG=6，则S_△ABC=2$\sqrt{130}$．

Answer 1

分析 根据勾股定理的逆定理得到∠G=90°，过G作GH⊥CD交DC延长线于H，推出△CEG∽△GCH，设CH=3x，则GH=4x，CG=5x=8，得到DH=$\frac{24}{5}$，根据勾股定理得到DG=$\sqrt{D{H}^{2}+G{H}^{2}}$=$\sqrt{\frac{6500}{25}}$=$\sqrt{260}$推出四边形DGBC是平行四边形根据平行四边形的性质得到结论．

解答 解：∵FG=CF，
∴CG=2×4=8，EG=6，CE=10，
∴CG²+EG²=CE²，
∴∠G=90°，
过G作GH⊥CD交DC延长线于H，
有∠HCG=∠CEG（等角的余角相等），
∵∠H=∠CGE=90°，
∴△CEG∽△GCH，
∴$\frac{CH}{GH}$=$\frac{GE}{CG}$=$\frac{3}{4}$，
设CH=3x，则GH=4x，CG=5x=8，
∴x=$\frac{8}{5}$，
∴CH=$\frac{24}{5}$，GH=$\frac{32}{5}$，
∵CD=CE=10
∴DH=$\frac{24}{5}$，
∴DG=$\sqrt{D{H}^{2}+G{H}^{2}}$=$\sqrt{\frac{6500}{25}}$=$\sqrt{260}$，
∵DF=BF，CF=FG，
∴四边形DGBC是平行四边形，
∴BC=DG=$\sqrt{260}$，AB=$\sqrt{2}$BC=2$\sqrt{130}$．
故答案为：2$\sqrt{130}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理的逆定理，正确的作出辅助线是解题的关键．