Question

12．已知点A、B分别在x轴和y轴上，OA=OB，点C为AB的中点，AB=12$\sqrt{2}$
（1）如图1，求点C的坐标
（2）如图2，E、F分别为OA上的动点，且∠ECF=45°，求证：EF²=OE²+AF²
（3）如图3，点D在y轴正半轴上运动，以AD为腰向下作等腰RT△ADM，∠DAM=90°，T为线段OA的中点，连DT并延长至点N，使DT=TN，连MN，求MN的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质求出线段OA、OB，可得A、B两点坐标，由此即可求出线段AB的中点坐标．
（2）如图2中，连接OC，∵BC=AC，∠AOB=90°，∴OC=CA，∠OCB=∠CAF=45°，将△ACF绕点C逆时针旋转90°可得△COM，点M正好在线段OB上．则OM=AF，CM=CF，∠MCO=∠FCA．只要证明△ECM≌△ECF，推出EM=EF，在Rt△MOE中，可得ME²=OM²+OE²，由此即可解决问题．
（3）如图3中，连接AN．作MG⊥OA于G．设D（0，a），求出M、N两点坐标，利用两点间的距离公式求出MN，利用二次函数的性质即可解决问题．

解答 解：（1）∵OA=OB，∠AOB=90°，AB=12$\sqrt{2}$，
∴OA=OB=12，
∴A（0，12），B（12，0），
∴线段AB的中点坐标为（6，6）．

（2）如图2中，连接OC，
∵BC=AC，∠AOB=90°，
∴OC=CA，∠OCB=∠CAF=45°，
将△ACF绕点C逆时针旋转90°可得△COM，点M正好在线段OB上．
则OM=AF，CM=CF，∠MCO=∠FCA．

∵OC⊥AB，
∴∠OCA=90°，
∵∠ECF=45°，
∴∠ECO+∠FCA=∠ECO+∠MCO=45°，
∴∠MCO=∠ECF，
在△ECM和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=EC}\\{∠ECM=∠ECF}\\{CM=CF}\end{array}\right.$，
∴△ECM≌△ECF，
∴EM=EF，
在Rt△MOE中，∵ME²=OM²+OE²，
又∵OM=AF，EF=EM，
∴EF²=OE²+AF²．

（3）如图3中，连接AN．作MG⊥OA于G．设D（0，a）

∵∠DAO+∠MAG=90°，∠MAG+∠GMA=90°，
∴∠DAO=∠AMG，
∵AD=AM，∠AOD=∠AGM=90°，
∴△DAO≌△AMG，
∴OD=AG=a，OA=MG=12，
∴M（12-a，-12），
∵OT=TA，DT=TN，∠DTO=∠ATM，
∴△DTO≌△NTA，
∴∠DOT=∠NAT=90°，AN=OD=a，
∴N（12，-a），
∴MN=$\sqrt{{a}^{2}+（12-a）^{2}}$=$\sqrt{2（a-6）^{2}+72}$，
∴a=2时，MN有最小值6$\sqrt{2}$．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、两点间距离公式、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．