Question

9．如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（3，0），C（-1，0）两点，与y轴交于点B（0，3），点P为抛物线对称轴上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△PBA的面积与△ABC的面积相等，求点P的坐标；
（3）过点B作BD∥CA，交抛物线于点D，抛物线上是否存在一点E，使∠EBD=∠CBO，若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先设抛物线的解析式为：y=a（x-3）（x+1），直接利用待定系数法求解即可求得答案；
（2）首先求得抛物线的对称轴，求得直线AB的解析式，即可求得直线AB与对称轴的交点坐标，然后设点P的坐标为（1，m），易得$\frac{3}{2}$|m-2|=6，即可求得答案；
（3）首先过点E作BD的垂线，易得△E₁BG∽△CBO，△E₂BH∽△CBO，继而求得答案．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-3）（x+1），
将B（0，3）代入，3=-3a，
解得：a=-1，
∴抛物线的解析式为：y=-（x-3）（x+1），
即y=-x²+2x+3；

（2）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{k=-1}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：y=-x+3，
设直线AB交抛物线对称于点M，
∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（3，0），C（-1，0）两点，
∴对称轴为：x=1，
则M的坐标为（1，2），
∵点P为抛物线对称轴上一动点，
∴设点P的坐标为（1，m），则PM=|m-2|，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$×|m-2|×3=$\frac{3}{2}$|m-2|，S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×3=6，
∵△PBA的面积与△ABC的面积相等，
∴$\frac{3}{2}$|m-2|=6，
解得：m=6或m=-2，
∴点P的坐标为（1，6）或（1，-2）；

（3）存在．
如图2，设E的坐标为：（x，-x²+2x+3），
过点E₁作E₁G⊥BD于点G，则E₁G=-x²+2x+3-3=-x²+2x，BG=x，∠BGE=∠BOC=90°，
∵∠EBD=∠CBO，
∴△E₁BG∽△CBO，
∴BG：BO=E₁G：CO，
∴$\frac{x}{3}=\frac{-{x}^{2}+2x}{1}$，
解得：x₁=0（舍去），x₂=$\frac{5}{3}$，
∴点E₁的坐标为：（$\frac{5}{3}$，$\frac{32}{9}$）；
过点E₂作E₂H⊥BD于点H，则E₂H=3-（-x²+2x+3）=x²-2x，BH=x，∠BHE=∠BOC=90°，
∵∠EBD=∠CBO，
∴△E₂BH∽△CBO，
∴BH：BO=E₂H：CO，
∴$\frac{x}{3}=\frac{{x}^{2}-2x}{1}$，
解得：x₁=0（舍去），x₂=$\frac{7}{3}$，
∴点E₂的坐标为：（$\frac{7}{3}$，$\frac{20}{9}$）；
综上所述：点E的坐标为：（$\frac{5}{3}$，$\frac{32}{9}$）或（$\frac{7}{3}$，$\frac{20}{9}$）．

点评 此题属于二次函数的综合题．考查了待定系数求函数解析式的知识、三角形面积问题以及相似三角形的判定与性质．注意掌握割补法求面积，构造相似三角形是解此题的关键．