Question

1．如图，点D、E分别在等边△ABC的AB、AC上，且CD＞BD，AE＞EC，AD和BE相交于点F．
（1）若∠BAD=∠CBE，则∠AFE=60°；
（2）若BD=CE，求证：AD=BE；
   （3）在（2）的条件下，以AB为边作如图所示的等边△ABG，连接FG，若FG=11，BF=3，请直接写出线段AF的长度为8．

Answer 1

分析 （1）先根据等边三角形各角为60°得：∠ABC=60°，再根据外角定理得：∠AFE=∠ABC=60°；
（2）证明△ABD≌△BCE可得AD=BE；
（3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△ABF≌△CBN和△GAF≌△ACN可得AN=FG，可得结论．

解答 解：（1）∵等边△ABC，
∴∠ABC=60°，
∵∠AFE=∠ABE+∠BAD
∴∠AFE=∠BAD+∠ABE=∠ABE+∠CBE=∠ABC=60°，
故答案为：60°；
（2）∵等边△ABC，
∴AB=BC，∠ABD=∠C=60°，
在△ABD和△BCE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠C}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
（3）如图3，延长AF至N，使BF=FN=3，连接BN、NC，
∵∠BFN=∠AFE=60°，
∴△BFN是等边三角形，
∴∠FBN=60°，BF=BN=3，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABE+∠EBC=∠EBC+∠CBN，
∴∠ABE=∠CBN，
在△ABF和△CBN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠CBN}\\{BF=BN}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBN，
∴AF=NC，∠BAF=∠BCN，
∴∠BAF+∠GAB=∠BCN+∠ACB，
∵△ABC和△ABG都是等边三角形，
∴∠GAB=∠ACB=60°，AG=AB=AC，
∴∠GAF=∠ACN，
在△GAF和△ACN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AG=AC}\\{∠GAF=∠ACN}\\{AF=CN}\end{array}\right.$，
∴△GAF≌△ACN（SAS），
∴GF=AN=11，
∴AF+FN=AN=11，
∴AF=11-3=8．
故答案为：8．

点评 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定，属于基础题，题意新颖，熟练掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质是关键，第三问做出辅助线是关键．