Question

19．“一号龙卷风”给小岛O造成了较大的破坏，救灾部门迅速组织力量，从仓储D处调集救援物资，计划先用汽车运到与D在同一直线上的C、B、A三个码头中的一处，再用货船运到小岛O．已知：OA⊥AD，∠ODA=15°，∠OCA=30°，∠OBA=45°，CD=20km．若汽车行驶的速度为50km/时，货船航行的速度为25km/时，问这批物资在哪个码头装船，最早运抵小岛O？（在物资搬运能力上每个码头工作效率相同，参考数据：$\sqrt{2}$≈1.4，$\sqrt{3}$≈1.7）．

Answer 1

分析 利用三角形外角性质计算出∠COD=15°，则CO=CD=20，在Rt△OCA中利用含30度的直角三角形三边的关系计算出OA=$\frac{1}{2}$OC=10，CA=$\sqrt{3}$OA≈17，在Rt△OBA中利用等腰直角三角形的性质计算出BA=OA=10，OB=$\sqrt{2}$OA≈14，则BC=7，然后根据速度公式分别计算出在三个码头装船，运抵小岛所需的时间，再比较时间的大小进行判断．

解答 解：∵∠OCA=∠D+∠COD，
∴∠COD=30°-15°=15°，
∴CO=CD=20，
在Rt△OCA中，∵∠OCA=30°，
∴OA=$\frac{1}{2}$OC=10，CA=$\sqrt{3}$OA=10$\sqrt{3}$≈17，
在Rt△OBA中，∵∠OBA=45°，
∴BA=OA=10，OB=$\sqrt{2}$OA≈14，
∴BC=17-10=7，
当这批物资在C码头装船，运抵小岛O时，所用时间=$\frac{20}{50}$+$\frac{20}{25}$=1.2（小时）；
当这批物资在B码头装船，运抵小岛O时，所用时间=$\frac{20+7}{50}$+$\frac{14}{25}$=1.1（小时）；
当这批物资在A码头装船，运抵小岛O时，所用时间=$\frac{20+17}{50}$+$\frac{10}{25}$=1.14（小时）；
所以这批物资在B码头装船，最早运抵小岛O．

点评 本题考查了解直角三角形：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．