Question

11．如图，抛物线y=-x²+bx+c经过A（-1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）连接PC、PE，利用公式求出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，设出点P的坐标为（x，-2x+6），利用勾股定理表示出PC²和PE²，根据题意列出方程，解方程求出x的值，计算求出点P的坐标；
（3）设点M的坐标为（a，0），表示出点G的坐标，根据正方形的性质列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c经过A（-1，0），B（3，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式为y=-x²+2x+3；
（2）如图1，连接PC、PE，
x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1，
当x=1时，y=4，
∴点D的坐标为（1，4），
设直线BD的解析式为：y=mx+n，
则$\left\{\begin{array}{l}{m+n=4}\\{3m+n=0}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=6}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为y=-2x+6，
设点P的坐标为（x，-2x+6），
则PC²=x²+（3+2x-6）²，PE²=（x-1）²+（-2x+6）²，
∵PC=PE，
∴x²+（3+2x-6）²=（x-1）²+（-2x+6）²，
解得，x=2，
则y=-2×2+6=2，
∴点P的坐标为（2，2）；
（3）设点M的坐标为（a，0），则点G的坐标为（a，-a²+2a+3），
∵以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形，
∴FM=MG，即|2-a|=|-a²+2a+3|，
当2-a=-a²+2a+3时，
整理得，a²-3a-1=0，
解得，a=$\frac{3±\sqrt{13}}{2}$，
当2-a=-（-a²+2a+3）时，
整理得，a²-a-5=0，
解得，a=$\frac{1±\sqrt{21}}{2}$，
∴当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，点M的坐标为（$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$，0），（$\frac{3-\sqrt{13}}{2}$，0），（$\frac{1+\sqrt{21}}{2}$，0），（$\frac{1-\sqrt{21}}{2}$，0）．

点评 本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式以及正方形的性质，掌握二次函数的图象和性质、灵活运用待定系数法是解题的关键．