Question

4．如图，AB为半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，若CD=3，AB=4，求tan∠BPD的值．

Answer 1

分析 连接BD，即可求证△CPD∽△APB，即可求证$\frac{PD}{PB}=\frac{CD}{AB}$=$\frac{3}{4}$，设PB=4x，PD=3x，根据勾股定理即可求BD=$\sqrt{（4x）^{2}-（3x）^{2}}$=$\sqrt{7}$x的长，即可解题．

解答 解：连接BD，
∵∠BCD=∠BAD，∠CDA=∠ABC，
∴△CPD∽△APB．
∴$\frac{PD}{PB}=\frac{CD}{AB}$=$\frac{3}{4}$，
由AB是直径得∠PDB=90°．设PB=3x，
则PD=4x，
∴BD=$\sqrt{（4x）^{2}-（3x）^{2}}$=$\sqrt{7}$x，
∴tan∠BPD=$\frac{BD}{PD}$=$\frac{\sqrt{7}x}{3x}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定，相似三角形对应边比值相等的性质，勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求AC的长是解题的关键．