Question

13．如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线，求证：△ABC是等腰三角形．

Answer 1

分析 作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明．

解答 证明：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，
∵AD是BC边的中线，
∴BD=CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B=∠C．
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．

点评 本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的性质，直角三角形的全等判定与性质，要证边相等，想办法证明边所在的三角形全等，是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．