Question

如图，已知抛物线y=ax²+x+c（a≠0）与x轴交点A（-2，0），点B（6，0），与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一动点，求△BCD面积的最大值；
（3）已知点E（4，3），且直线AE交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x轴上有一动点Q，是否存在以A，M，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将点A（-2，0），B（6，0）代入抛物线解析式，可求出a、c的值，继而得出抛物线的解析式；
（2）设出点D的坐标为（m，n），过点D作DN⊥AB于点N，结合题意，用含m或n的式子表示出△BCD的面积，根据二次函数的性质即可得出面积的最大值；
（3）分三种情况进行讨论：
①以AM为边时，如图1、图2，如果MP∥AQ且MP=AQ，那么以A，M，P，Q为顶点的四边形为平行四边形．由P与M的纵坐标相等，将M的纵坐标代入抛物线中求出P的坐标，然后根据M，P的横坐标求出MP的长，即AQ的长，然后根据A的坐标即可求出Q的坐标；
②以AM为边时，如图3、图4，如果AM∥PQ且AM=PQ，那么以A，M，P，Q为顶点的四边形为平行四边形．根据平行四边形的对称性，得出M，P的纵坐标互为相反数，因此可求出P的坐标，然后根据平行四边形的性质及A，M，P的坐标即可求出Q的坐标；
③以AM为对角线时，过M作x轴的平行线交抛物线与P₅、P₆，由①知，P₅（2-2

2

，2），P₆（2+2

2

，2），根据AM与PQ互相平分，得出AM的中点与PQ的中点重合，由中点坐标公式及A（-2，0），M（2，2），求出AM的中点坐标是（0，1），再利用中点坐标公式即可求出Q的坐标．

解答：解：（1）将A（-2，0），B（6，0）代入抛物线解析式可得：

4a-2+c=0 36a+6+c=0

，
解得：

a=- 1 4 c=3

，
抛物线的解析式为y=-

1

4

x²+x+3；

（2）设点D的坐标为（m，n），则n=-

1

4

m²+m+3，
过点D作DN⊥AB于点N，则有：
S_△BCD=S_梯形ONDC+S_△BND-S_△BOC
=

1

2

（3+n）m+

1

2

（6-m）n-

1

2

×6×3
=

3

2

m+3n-9
=

3

2

m+3（-

1

4

m²+m+3）-9
=-

3

4

m²+

9

2

m
=-

3

4

（m-3）²+

27

4

，
∵-

3

4

＜0，
∴当m=3时，△BCD的面积最大，最大值是

27

4

；

（3）存在．
设直线AE的解析式为y=kx+b，
∵A（-2，0），E（4，3），
∴

-2k+b=0 4k+b=3

，解得

k= 1 2 b=1

，
∴y=

1

2

x+1，
∵抛物线y=-

1

4

x²+x+3的对称轴是x=

-1

2×(- 1 4 )

=2，
∴当x=2时，y=

1

2

×2+1=2，
∴M（2，2）．
①如图1、图2，当MP∥AQ且MP=AQ时，以A，M，P，Q为顶点的四边形为平行四边形．
∵MP∥AQ，
∴P与M的纵坐标相等，都是2．
将y=2代入y=-

1

4

x²+x+3，整理得-

1

4

x²+x+1=0，
解得x=2±2

2

，
∴P点坐标为（2±2

2

，2），
∵M（2，2），
∴MP=2

2

，
∴AQ=MP=2

2

．
当Q在A右侧时，如图1，Q₁（2

2

-2，0），
当Q在A左侧时，如图2，Q₂（-2

2

-2，0）；
②如图3，当AM∥PQ且AM=PQ时，以A，M，P，Q为顶点的四边形为平行四边形．
∵AQ与PM互相平分，
∴M，P的纵坐标互为相反数，
∵M（2，2），
∴P的纵坐标为-2．
将y=-2代入y=-

1

4

x²+x+3，整理得-

1

4

x²+x+5=0，
解得x=2±2

6

∴P点坐标为（2±2

6

，-2）．
当P在y轴右侧时，如图3，P（2+2

6

，-2）．
∵A（-2，0），M（2，2），
∴将A先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度可得M，
∵AM∥PQ且AM=PQ，
∴将P先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度可得Q．
当P在y轴右侧时，如图3，P（2+2

6

，-2），Q₃（6+2

6

，0）；
当P在y轴左侧时，如图4，P（2-2

6

，-2），Q₄（6-2

6

，0）；
③如图5，以AM为对角线时，过M作x轴的平行线交抛物线与P₅、P₆，
则这两点的纵坐标是2，由①知，P₅（2-2

2

，2），P₆（2+2

2

，2），
∵AM与PQ互相平分，
∴AM的中点与PQ的中点重合．
∵A（-2，0），M（2，2），
∴AM的中点坐标是（0，1）．
∴Q₅（2

2

-2，0），Q₆（-2-2

2

，0）．
综上所述，存在以A，M，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，此时点Q的坐标是：
Q₁（2

2

-2，0），Q₂（-2

2

-2，0），Q₃（6+2

6

，0），Q₄（6-2

6

，0），Q₅（2

2

-2，0），Q₆（-2-2

2

，0）．

点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求抛物线的解析式，三角形的面积，二次函数的性质，平行四边形的性质，有一定难度．利用分类讨论、数形结合是解题的关键．