Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（-6，0），B（2，0），C（0，-6）
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线对称轴上的一点，设△BCP的周长为C，求C的最小值并求出此时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；
（2）根据题意，要使△BCP的周长最小，找到点B关于DE的对称点即点C，连接AC与DE的交点即为点P，据此求解即可；
（3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为（0，t），根据勾股定理列出方程，求出t的值即可．

解答：解：（1）由于抛物线y=ax²+bx+c经过A（-6，0），B（2，0），C（0，-6），
则有：

36a-6b+c=0 4a+2b+c=0 c=-6

，
解得：

a= 1 2 b=2 c=-6

，
所以抛物线的解析式为：y=

1

2

x²+2x-6；

（2）作出点B关于DE的对称点即点C，连接AC，交DE的交点于点P，

设直线AC的解析式为y=kx+b，
将点A、C的坐标代入得：

-6k+b=0 b=-6

，
解得：

k=-1 b=-6

，
则解析式为：y=-x-6，
∵抛物线的对称轴为x=-2，
∴把x=-2代入y=-x-6得：
y=-4，
则点P坐标为（-2，-4），
△BCP的周长=AC+BC=

62+62

+

22+62

=6

2

+2

10

，
即点P的坐标为（-2，-4）时，C有最小值，为6

2

+2

10

；

（3）在y轴上是存在点M，能够使得△ADM是直角三角形．理由如下：
∵y=

1

2

x²+2x-6=y=

1

2

（x+2）²-8，
∴顶点D的坐标为（-2，-8），
∵A（-6，0），
∴AD²=（-2+6）²+（-8-0）²=80．
设点M的坐标为（0，t），分三种情况进行讨论：
①当A为直角顶点时，如图3①，

由勾股定理，得AM²+AD²=DM²，即（0+6）²+（t-0）²+80=（0+2）²+（t+8）²，
解得t=3，
所以点M的坐标为（0，3）；
②当D为直角顶点时，如图3②，

由勾股定理，得DM²+AD²=AM²，即（0+2）²+（t+8）²+80=（0+6）²+（t-0）²，
解得t=-7，
所以点M的坐标为（0，-7）；
③当M为直角顶点时，如图3③，

由勾股定理，得AM²+DM²=AD²，即（0+6）²+（t-0）²+（0+2）²+（t+8）²=80，
解得t=-2或-6，
所以点M的坐标为（0，-2）或（0，-6）；
综上可知，在y轴上存在点M，能够使得△ADM是直角三角形，
此时点M的坐标为（0，3）或（0，-7）或（0，-2）或（0，-6）．

点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的周长，二次函数的顶点式的运用，勾股定理等知识，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．