Question

已知A（-a，0）、B（0，b），且a+b=16，ab=m²-20m+164，C为BO中点，OE⊥AC交AB于E，连AC．
（1）求A、C、B的坐标；
（2）求证：∠1=∠2；
（3）H为AB线段上一动点，HG⊥OB，HN⊥AO，问H运动过程中，HG+HN是如何变化？

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）由a+b=16，ab=m²-20m+164，易得（b-8）²≤0，即可求得b的值，继而求得a的值，然后由C为BO中点，即可求得A、C、B的坐标；
（2）首先过点E作EF⊥y轴于点F，过点E作ED⊥x轴于点D，可得∠2=∠AOE，求得tan∠2=

OA

OC

=

ED

OD

=

8

4

=2，△ADE是等腰直角三角形，则可求得点E的坐标，继而求得EF与CF的长，则可求得tan∠1=

EF

CF

=2，证得∠1=∠2；
（3）首先求得直线AB的解析式，设HN=m，HG=n，得到点H的坐标为（-m，n），然后将其代入解析式，即可求得HG+HN=8．

解答：解：（1）∵a+b=16，
∴a=16-b．
∴ab=（16-b）b=（m-10）²+64≥64，
∴（16-b）b-64=-b²+16b-64≥0，
即b²-16b+64≤0，
∴（b-8）²≤0．
∴b=8，
∴a=16-8=8，
∴A（-8，0），B（0，8），
∵C为BO中点，
∴C（0，4）．

（2）过点E作EF⊥y轴于点F，过点E作ED⊥x轴于点D，
∴∠ODE=∠COA=90°，
∵OE⊥AC，
∴∠OAC+∠AOE=90°，
∵∠2+∠OAC=90°，
∴∠2=∠AOE，
∴tan∠2=tan∠EOD，
∴tan∠2=

OA

OC

=

ED

OD

=

8

4

=2，
∴ED=2OD，
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OAB=45°，
∴∠OAB=∠AED，
∴ED=AD，
∴AD=2OD，
∴OD=

8

3

，ED=AD=

16

3

，
∴EF=OD=

8

3

，CF=OF-OC=

16

3

-4=

4

3

，
∴tan∠1=

EF

CF

=2，
∴∠1=∠2；

（3）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
则

b=8 -8k+b=0

，
解得：

k=1 b=8

，
∴直线AB的解析式为：y=x+8，
∵H为AB线段上一动点，HG⊥OB，HN⊥AO，
设HN=m，HG=n，
则点H的坐标为（-m，n），
∴n=-m+8，
∴m+n=8，
即HG+HN=8．

点评：此题属于一次函数的综合题，考查了待定系数求一次函数解析式、三角函数、完全平方公式以及等腰直角三角形的性质．此题难度较大，综合性很强，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．