Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx-7与y轴交于点C，与x轴交于点B，抛物线y=ax²+bx+14a经过B、C两点，与x轴的正半轴交于另一点A，且OA：OC=2：7．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为线段CB上一点，点P在对称轴的右侧抛物线上，PD=PB，当tan∠PDB=2，求P点的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q（7，m）在第四象限内，点R在对称轴的右侧抛物线上，若以点P、D、Q、R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q、R的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由直线可求得C点坐标，代入抛物线可求得a的值，结合条件可求得A点坐标，代入可求得b的值，可求得抛物线解析式；
（2）可先求得B点坐标，过P作PF⊥x轴于点G，交BC于点F，作PE⊥BC，结合条件可找到PG与GF关系，再求得直线BC的解析式，设出F点的坐标，可表示出P点坐标，代入抛物线可求得P点的坐标；
（3）分DP∥QR和DR∥QP，当DP∥QR时，过P作PN∥BQ，过D作DN⊥BQ交PN于点N，过R作RM⊥BQ于点M．设PD交BQ于点T，DN交BM于点I，可求得RM=DN，MQ=PN，结合条件可求得D点坐标，设出R的坐标，可求得横坐标，代入抛物线可求得R的坐标，再根据平行四边形的性质可求得Q的坐标；同理可求得当DR∥QP时的R、Q的坐标．

解答：解：（1）∵直线y=kx-7与y轴的负半轴交于点C
∴C（0，-7），
∴OC=7，
∵抛物线y=ax²+bx+14a经过点C，
∴14a=-7，
∴a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

x²+bx-7，
∵OA：OC=2：7．
∴OA=2，
∴A（2，0）
∵抛物线y=-

1

2

x²+bx-7经过点A，
∴b=

9

2

∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+

9

2

x-7，
（2）如图1，

∵抛物线y=-

1

2

x²+

9

2

x-7经过B点，
令y=0解得x=7或x=2（舍去），
∴B（7，0），
∴OB=7，
∴OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=45°
过点P作PF⊥x轴于点G，交CB延长线于点F，则PF∥y轴，
∴∠CFG=∠OCB=45°，
∴BF=

2

GF，
过P作PE⊥BC于点E，
∵PD=PB，
∴∠PBD=∠PDB，
∴tan∠PBD=tan∠PDB=2，
∴PE=2BE，
∵EF=PE，
∴BF=BE，
∴PF=

2

PE=2

2

BE=2

2

BF=4GF，
∴PG=3GF，
∵直线y=kx-7过B点，
∴k=1，
∴y=x-7，
设F（m，m-7），则P（m，-3（m-7）），
∵点P在抛物线y=-

1

2

x²+

9

2

x-7上，
∴-3(m-7)=-

1

2

m2+

9

2

m-7，
解得m=7（舍去）或m=8，
∴P（8，-3）；
（3）如图2，当DP∥QR时，即四边形DQRP是平行四边形，

∵B（7，0），Q（7，m）
∴BQ∥y轴
过P作PN∥BQ，过D作DN⊥BQ交PN于点N，
过R作RM⊥BQ于点M．
设PD交BQ于点T，DN交BM于点I，
∴∠DTB=∠DPN，∠PTQ=∠RQM，
∵∠DTB=∠PTQ，
∴∠DPN=∠RQM，
∵四边形DPRQ是平行四边形，
∴DP=RQ，
在△RMQ和△DNP中，

∠RQM=∠DPN ∠RMQ=∠DNP RQ=DP

，
∴△RMQ≌△DNP（AAS），
∴RM=DN，MQ=PN，
由（2）可求F（8，1），GF=1，BD=2BE=2

2

BF=2

2

∵∠QBC=45°，∴BI=DI=2，
∴D（5，-2），
设R点的横坐标为t，
∵RM=DN，
∴t-7=8-5，
解得t=10，
∵点R在抛物线y=-

1

2

x²+

9

2

x-7 上，
∴当t=10时，-

1

2

×102+

9

2

×10-7=-12，
∴R（10，-12），
∵MQ=PN，
∴3-2=-12-n，
∴n=-11，
∴R（10，-12），Q（7，-11），
如图3，当DR∥QP时，即四边形DQPR是平行四边形

同理可求得R（6，2），Q（7，-7）．

点评：本题主要考查待定系数法求函数解析式及全等三角形的判定和性质、三角函数的定义、平行四边形的性质等知识的综合应用．在（1）中求得A、C的坐标是解题的关键，在（2）中通过构造直角三角形，利用三角函数求得PG和GF的关系是解题的关键，在（3）中确定出Q、R的位置是解题的关键．本题综合性较强、考查知识点较多、难度较大，注重了知识与能力的考查．