Question

15．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为$\frac{1}{2}$的长方形，接着再把面积为$\frac{1}{2}$的一个长方形分成两个面积为$\frac{1}{4}$的长方形，再把面积为$\frac{1}{4}$的一个长方形分成两个面积为$\frac{1}{8}$的长方形，如此进行下去．
（1）第8次等分所得的一个小长方形面积为多少？
（2）试利用图形揭示的规律计算：$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{32}$+$\frac{1}{64}$+$\frac{1}{128}$+$\frac{1}{256}$．

Answer 1

分析 （1）设第n次等分所得的一个小长方形面积为a_n（n为正整数），根据面积的变化找出变化规律“a_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$”，以此规律即可得出结论；
（2）结合图形可知$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{32}$+$\frac{1}{64}$+$\frac{1}{128}$+$\frac{1}{256}$=1-$\frac{1}{256}$，算出结论即可．

解答 解：（1）设第n次等分所得的一个小长方形面积为a_n（n为正整数），
观察，发现规律：a₁=$\frac{1}{2}$，a₂=$\frac{1}{4}$，a₃=$\frac{1}{8}$，a₄=$\frac{1}{16}$，…，
∴a_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$，
当n=8时，a₈=$\frac{1}{256}$，
∴第8次等分所得的一个小长方形面积为$\frac{1}{256}$．
（2）根据图形可知：$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{32}$+$\frac{1}{64}$+$\frac{1}{128}$+$\frac{1}{256}$=1-$\frac{1}{256}$=$\frac{255}{256}$．

点评 本题考查了规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律是解题的关键．