如图.抛物线解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x2-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x-$\sqrt{3}$.与x轴交于A.B两点.以OA为斜边构造直角三角形OAE.且∠OAE=30°.将△OEA沿OE翻折.使点A的对应点为点C．(1)求点C的坐标,(2)过点B作DB⊥x轴与EO的延长线交于点D.连接CD.若动点P从点D沿线段DC方向以每秒2个单位的速� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．如图，抛物线解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x-$\sqrt{3}$，与x轴交于A、B两点，以OA为斜边构造直角三角形OAE，且∠OAE=30°，将△OEA沿OE翻折，使点A的对应点为点C．
（1）求点C的坐标；
（2）过点B作DB⊥x轴与EO的延长线交于点D，连接CD，若动点P从点D沿线段DC方向以每秒2个单位的速度向点C运动，设点P的运动时间为t，线段CP的长为d，求d与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接AD，动点Q从点A沿线段AD方向以每秒1个单位的速度向点D运动，两点同时出发，其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，当t为何值时，使∠PQA=2∠PEC．

分析（1）如图1，作CH⊥AB垂足为H，在RT△OHC中即可求解．
（2）根据C、D两点坐标求出线段CD，利用d=CD-PD即可．
（3）在图2中，作EM⊥PQ，EN⊥AD，EK⊥CD垂足分别为M、N、K，先证明∠QPE=∠EPC，再证明∠EQP=∠EQA，最后利用△PEC∽△EQA得到$\frac{PC}{EA}=\frac{EC}{AQ}$，列出方程即可求出t．

解答解：（1）如图1，作CH⊥AB垂足为H，
令y=0则$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x-$\sqrt{3}$=0解得x=3或-2，故A（-2，0），B（3，0），
∵OA=OC=2，∠OAE=30°，
∴∠OAE=∠OCA=30°，∠COH=∠OAC+∠OCA=60°，
∴OH=1，HC=$\sqrt{3}$，
∴C（1，-$\sqrt{3}$）．
（2）在RT△OBD中，∵∠DOB=∠AOE=60°，OB=3，
∴BD=$\sqrt{3}$OB=3$\sqrt{3}$，
∴D（3，3$\sqrt{3}$），
∵C（1，-$\sqrt{3}$），
∴DC=$\sqrt{（3-1）^{2}+（3\sqrt{3}+\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴d=CP=DC-DP=2$\sqrt{13}$-2t．（0＜t≤$\sqrt{13}$）．
（3）在图2中，作EM⊥PQ，EN⊥AD，EK⊥CD垂足分别为M、N、K．
∵∠PEC+∠C+∠EPC=180°，
∴2∠PEC+2∠C+2∠EPC=360°，
在四边形AQPC中，∵∠A+∠C+∠AQP+∠QPC=360°，
∵EA=EC=$\sqrt{3}$，DE⊥CA，
∴DA=DC，
∴∠A=∠C，∠ADE=∠CDE
∵∠AQP=2∠PEC，
∴∠AQP+2∠C+2∠EPC=360°，2∠C+∠AQP+∠QPC=360°，
∴∠QPC=2∠EPC，
∴∠QPE=∠EPC，
∴EM=EK，EN=EK，
∴EM=EN，
∴∠EQP=∠EQA，
∵∠PEC=∠AQE，∠C=∠A，
∴△PEC∽△EQA，
∴$\frac{PC}{EA}=\frac{EC}{AQ}$，
∴$\frac{2\sqrt{13}-2t}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{t}$，
整理得到2t²-2$\sqrt{13}t$+3=0，
解得t=$\frac{\sqrt{13}±\sqrt{7}}{2}$．
∴t=$\frac{\sqrt{13}±\sqrt{7}}{2}$时∠PQA=2∠PEC．