Question

20．如图，在正方形ABCD中，边长为4，点E、F分别在边AD和CD上，其中AE=2，DF=1，判断BE与EF的位置关系并说明理由．

Answer 1

分析 根据正方形的性质及条件求出ED、CF的值，再由勾股定理就可以求出BF、BE及EF的值，再根据勾股定理的逆定理就可以直接求出△BEF是直角三角形，从而可以得出结论．

解答 解：BE⊥EF．
理由：∵正方形ABCD中，边长为4，AE=2，DF=1，
∴ED=2，CF=3，AB=BC=4，
在Rt△ABE中，
BE=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
在Rt△BCF中
BF=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5
在Rt△EDF中
EF=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
在△BEF中，BE²+EF²=（2$\sqrt{5}$）²+（$\sqrt{5}$）²=25=BF²，
∴△BEF是直角三角形，且∠BEF=90°，
∴BE⊥EF．

点评 本题考查了正方形的性质的运用，勾股定理的运用及勾股定理的逆定理的运用．在解答中求出△BEF的三边长的是关键．