Question

12．如图，在?ABCD中，∠ABC=70°，半径为r的⊙O经过点A，B，D，$\widehat{AD}$的长是$\frac{πr}{2}$，延长CB至点P，使得PB=AB．判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 连接OA、OD，由等腰三角形的性质得出∠P=∠BAP，由三角形的外角性质得出∠BAP=$\frac{1}{2}$∠ABC=35°，由弧长公式求出∠AOD=90°，由等腰三角形的性质得出∠OAD=∠ODA=45°，由平行四边形的性质求出∠BAD=110°，得出∠BAO=65°，因此∠OAP=35°+65°=100°＞90°，即可得出结论．

解答 解：直线PA与⊙O相交；理由如下：
连接OA、OD，如图所示：
∵PB=AB，
∴∠P=∠BAP，
∵∠ABC=∠P+∠BAP，
∴∠BAP=$\frac{1}{2}$∠ABC=35°，
设∠AOD的度数为n，
∵$\widehat{AD}$的长=$\frac{nπr}{180}$=$\frac{πr}{2}$，
解得：n=90，
∴∠AOD=90°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=180°-∠ABC=110°，
∴∠BAO=∠BAD-∠OAD=110°-45°=65°，
∴∠OAP=35°+65°=100°＞90°，
∴直线PA与⊙O相交．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、弧长公式、平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，由弧长公式求出∠AOD的度数是解决问题的关键．