Question

11．操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC，CB于D，E两点，如图1，图2是旋转三角板得到的图形中的两种情况．
探究：
（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间的数量关系，直接写出你的猜想；
（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，直接写出此时CE的长；若不能，请说明理由；
拓展：（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB=1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？结合图3写出你的结论，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）因为△ABC是等腰直角三角形，所以连接PC，容易得到△ACP、△CPB都是等腰直角三角形．连接CP，就可以证明△CDP≌△BEP，再根据全等三角形的对应边相等，就可以证明DP=PE；
（2）△PBE能成为等腰三角形，位置有四种；
（3）作MH⊥CB，MF⊥AC，构造相似三角形△MDF和△MHE，然后利用对应边成比例，就可以求出MD和ME之间的数量关系．

解答 解：（1）猜想：PD=PE
理由：如图1中，连接PC．

∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，
∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°．
∴∠ACP=∠B=45°．
又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°，
∴∠DPC=∠BPE．
∴△PCD≌△PBE．
∴PD=PE；
如图2中，结论一样，证明方法类似；

（2）共有四种情况：
①当点C与点E重合，即CE=0时，PE=PB；
②CE=2-$\sqrt{2}$，此时PB=BE；
③当CE=1时，此时PE=BE；
④当E在CB的延长线上，且CE=2+$\sqrt{2}$时，此时PB=EB；

（3）结论：MD：ME=1：3．
理由：过点M作MF⊥AC，MH⊥BC，垂足分别是F、H．

∴MH∥AC，MF∥BC．
∴四边形CFMH是平行四边形．
∵∠C=90°，
∴?CFMH是矩形．
∴∠FMH=90°，MF=CH．
∵$\frac{CH}{HB}$=$\frac{AM}{MB}$=$\frac{1}{3}$，HB=MH，
∴$\frac{MF}{MH}$=$\frac{1}{3}$．
∵∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°，
∴∠DMF=∠EMH．
∵∠MFD=∠MHE=90°，
∴△MDF∽△MEH．
∴$\frac{MD}{ME}$=$\frac{MF}{MH}$=$\frac{1}{3}$．

点评 此题比较复杂，综合考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、图形的变换．综合性很强，勾股定理的计算要求也比较高．