题目内容
6．
如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），直线y=kx+b与抛物线交于A，C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求直线AC的函数解析式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P作y轴的平行思安交抛物线于点E，求△ACE面积的最大值；
（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A，C，F，G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标；否则，说明理由．
分析 （1）因为抛物线与x轴相交，所以可令y=0，解出A、B的坐标．再根据C点在抛物线上，C点的横坐标为2，代入抛物线中即可得出C点的坐标．再根据两点式方程即可解出AC的函数表达式；
（2）根据P点在AC上可设出P点的坐标．E点坐标可根据已知的抛物线求得．因为PE都在垂直于x轴的直线上，所以两点之间的距离为|xA-xC|列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案；
（3）存在四个这样的点．
①连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（-3，0）；
②AF=CG=2，A点的坐标为（-1，0），因此F点的坐标为（1，0）；
③此时C，G两点的纵坐标关于x轴对称，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+$\sqrt{7}$，3），由于直线GF∥AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y=-x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y=-x+7．因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+$\sqrt{7}$，0）；④同③可求出F的坐标为（4-$\sqrt{7}$，0）；
综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点．
解答 解（1）当y=0时，解得x1=-1或x2=3，
∴A（-1，0）B（3，0）．
将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3得y=-3，
∴C（2，-3）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A和点C的坐标代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{2k+b=-3}\end{array}\right.$，
解得：k=-1，b=-1．
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1．
（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2），
则P、E的坐标分别为P（x，-x-1），E（x，x2-2x-3），
∵P点在E点的上方，PE=（-x-1）-（x2-2x-3）=-x2+x+2，
∴S△ACE=$\frac{1}{2}$PE×|xA-xC|=$\frac{1}{2}$（-x2+x+2）×3=-$\frac{3}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x+3，
∴S△ACE=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{1}{2}$）2+$\frac{27}{8}$
当x=$\frac{1}{2}$时，S△ACE最大为$\frac{27}{8}$．
（3）存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（-3，0），F3（4+$\sqrt{7}$，0），F4（4-$\sqrt{7}$，0）．
①如图1，连接C与抛物线和y轴的交点，
∵C（2，-3），G（0，-3）
∴CG∥x轴，此时AF=CG=2，
∴F点的坐标是（-3，0）；
②如图2，AF=CG=2，A点的坐标为（-1，0），因此F点的坐标为（1，0）；
③如图3，此时C，G两点的纵坐标关于x轴对称，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1±$\sqrt{7}$，3），由于直线GF∥AC，因此可设直线GF的解析式为y=-x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y=-x+4+$\sqrt{7}$．因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+$\sqrt{7}$，0）；
④如图4，同③可求出F的坐标为（4-$\sqrt{7}$，0）；
综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点．
点评 本题主要考查了二次函数的综合题，涉及到了待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的判定、二次函数的性质等重要知识点，综合性强，解答本题的关键是要求学生掌握分类讨论，数形结合的数学思想方法，此题有一定的难度．
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如图，在数轴上，点P对应的实数是（ ）| A． | $\sqrt{2}$ | B． | $\sqrt{5}$ | C． | π | D． | -1.5 |
如图直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角板如图所示放置，∠1=60°，则∠2=105°．
| A． | |x| | B． | $\frac{1}{|x|}$ | C． | -|x| | D． | -$\frac{1}{|x|}$ |
