Question

4．知者加速：
（1）如图所示是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计）范围是12≤a≤13；
（2）观察下列各式，你有什么发现？
3²=4+5，5²=12+13，7²=24+25，9²=40+41，…
这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？请你结合有关知识进行研究．若13²=a+b，则a，b的值可能是多少．

Answer 1

分析 （1）构建以5、12为直角边的直角三角形，根据勾股定理即可求出斜边的长度，从而得出a的取值范围；
（2）观察给定等式，根据等式数字的变化找出变化规律“（2n+1）²=（2n²+2n）+（2n²+2n+1）（n为正整数）”，依此规律即可得出结论．

解答 解：（1）构建直角三角形，如图所示．
其中AC=12，BC=5，
由勾股定理可得：AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=13．
∴a的取值范围为：12≤a≤13．
故答案为：12≤a≤13．
（2）不是巧合，这些等式中蕴涵着规律．
观察，发现规律：3²=4+5，5²=12+13，7²=24+25，9²=40+41，…，
等式的左边=（2n+1）²=4n²+4n+1=（2n²+2n）+（2n²+2n+1）=等式右边，
∴存在规律：（2n+1）²=（2n²+2n）+（2n²+2n+1）（n为正整数）．
当n=6时，13²=（2×6²+2×6）+（2×6²+2×6+1）=84+85，
∴a=84，b=85．

点评 本题考查了勾股定理的应用以及规律型中数字的变化类，解题的关键是：（1）根据勾股定理求出斜边的长度；（2）找出变化规律“（2n+1）²=（2n²+2n）+（2n²+2n+1）（n为正整数）”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数字的变化找出变化规律是关键．