Question

12．如图，在四边形EBCF中，点A为EF的中点，AB=AC，∠BAC=90°，BE=4$\sqrt{2}$，CF=5$\sqrt{2}$，EF=6，求△ABE的面积．

Answer 1

分析 首先根据题意寻找可以证明△AEB≌△CFA的条件，再利用全等三角形的性质可以得到AE=CF，BE=AF，再用勾股定理

解答 解：如图，

过点B作BM⊥EF，过点C作CN⊥EF，
∴∠AMB=∠CNA=90°．
∴∠MAB+∠MBA=90°．
又∵∠BAC=90°，
∴∠MAB+∠CAN=90°．
∴∠MBA=∠CAN．
在△AMB和△CNA中$\left\{\begin{array}{l}{∠AMB=∠CNA}\\{∠MBA=CAN}\\{AB=AB}\end{array}\right.$
∴△AMB≌△CNA，
∴AM=CN，BM=AN，
∵BE=4$\sqrt{2}$，CF=5$\sqrt{2}$，
∴MN=AN+AM=BM+CN，
∵点A为EF的中点，
∴AE=AF=$\frac{1}{2}$EF=3，
∴CN=AM=ME+3
FN=AN-AF=AN-3=BM-3
在Rt△BME中，BM²+ME²=BE²，
BM²+ME²=32①，
在Rt△CFN中，CN²+FN²=CF²
（ME+3）²+（BM-3）²=50②，
由①②得，ME=BM=4，
∴△ABE的面积=$\frac{1}{2}$×AE×BM=$\frac{1}{2}$×3×4=6．

点评 此题面积与等积变换，主要考查了三角形全等的判定及性质，解决问题的关键是证明△AEB≌△CFA．