Question

20．当x为多少时，$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}-6x+25}$取得最小值．

Answer 1

分析 把$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}-6x+25}$化为$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-2）^{2}}$+$\sqrt{（3-x）^{2}+（0-4）^{2}}$根据两点间的距离得到$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}-6x+25}$的最小值=3$\sqrt{5}$，解方程即可得到结论．

解答 解；求代数式$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}-6x+25}$的最小值，即求$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（3-x）^{2}+16}$的最小值，
∴$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-2）^{2}}$+$\sqrt{（3-x）^{2}+（0-4）^{2}}$的最小值，
实际上就是求x轴上一点到（0，-2）以及（3，4）两点的和的最小值，
而两点间的距离是线段最短，所以，点到（0，-2）到点（3，4）的距离即为所求，
即$\sqrt{{3}^{2}+（4+2）^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}-6x+25}$的最小值=3$\sqrt{5}$，
解$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}-6x+25}$=3$\sqrt{5}$得x=-1，
∴当x为-1时，$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}-6x+25}$取得最小值．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题，解方程，正确的理解题意是解题的关键．