Question

8．如图所示，圆的内接四边形ABCD的两条对角线AC、BD的交点为S，S在边AB、CD上的投影分别为E、F．证明EF的中垂线平分线段AD、BC．

Answer 1

分析 先判断出△BES∽△CFS得出BS•FS=CS•ES，∠CSE=∠BSF，即可得出BS•FS•cos∠BSF=CS•ES•cos∠CSE，再根据余弦定理得，BS²+FS²-BF²=CS²+ES²-EC²，即：BS²-ES²+EC²=CS²-FS²+BF²，再根据勾股定理得出结论结合前面的式子得出BE²+EC²=CF²+BF²①，最后用勾股定理和中点即可得出EB²+EC²=2（EM²+BM²）④，同样的办法得出
FB²+FC²=2（FM²+BM²）⑤，结合①④⑤即可判断出EF的中垂线平分线段BC，即可得出结论．

解答 解：如图，连接BF，CE，
∵S在边AB、CD上的投影分别为E、F，
∴∠BES=∠CFS=90°，
∵∠EBS=∠FCS，
∴△BES∽△CFS，
∴∠BSE=∠CSF，
∴∠CSE=∠BSF，
∵△BES∽△CFS，
∴∠$\frac{BS}{CS}=\frac{ES}{FS}$，
∴BS•FS=CS•ES，
∴BS•FS•cos∠BSF=CS•ES•cos∠CSE，
根据余弦定理得，BS²+FS²-BF²=CS²+ES²-EC²，
∴BS²-ES²+EC²=CS²-FS²+BF²，
在Rt△BES中，BS²-ES²=BE²，
在Rt△CFS中，CS²-FS²=CF²，
∴BE²+EC²=CF²+BF²①，

取BC的中点M，连接EM，FM
∴BM=CM，
作EH⊥BC于H，
∴BH=BM-HM，
在Rt△EMH中，EM²=EH²+MH²，
在Rt△EBH中，EB²=EH²+BH²=EH²+（BM-HM）²=EH²+BM²+HM²-2BM•HM+HM²，
∴EB²=EM²+BM²-2BM•HM=EM²+CM²-2CM•HM②，
同理：EC²=EM²+CM²+2CM•HM③，
②+③得，EB²+EC²=2EM²+2CM²=2（EM²+CM²）=2（EM²+BM²）④，
同理：FB²+FC²=2（FM²+BM²）⑤，
由①④⑤得，2（EM²+BM²）=2（FM²+BM²），
∴EM=FM，
∴△EMF是等腰三角形，
∵点M是BC的中点，
∴点M是EF的垂直平分线上，
∴EF的中垂线平分线段BC．
同理：EF的中垂线平分线段AD．
即：EF的中垂线平分线段AD、BC．

点评 此题是圆的综合题．主要考查了相似三角形的判定和性质，余弦定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是EB²+EC²=2（EM²+BM²）和FB²+FC²=2（FM²+BM²），也是解本题的难点，是一道难度比较大的竞赛题．