Question

1．如图，直线y=-2x+8分别交x、y轴于点A、B，点C是线段OB上一点（不与点B重合），过点A、B、C作⊙H，恰好与x轴相切，则∠CAB的正弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{3}{5}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 如图，连接BH、CH、AH，作HE⊥BC于E．由OA是切线，推出OA²=OC•OB，由题意A（4，0），B（0，8），推出OA=4，OB=8，推出OC=2，BC=6，由EH⊥BC，推出BE=EC=3，易证四边形AOEH是矩形，推出EH=OA=4，在Rt△EHB中，BH=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，再证明∠CAB=∠BHE，即可解决问题．

解答 解：如图，连接BH、CH、AH，作HE⊥BC于E．

∵OA是切线，
∴OA²=OC•OB，
由题意A（4，0），B（0，8），
∴OA=4，OB=8，
∴OC=2，BC=6，
∵EH⊥BC，
∴BE=EC=3，
易证四边形AOEH是矩形，
∴EH=OA=4，
在Rt△EHB中，BH=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵HB=HC，HE⊥BC，
∴∠BHE=∠CHE，
∵∠CAB=$\frac{1}{2}$∠BHC，
∴∠CAB=∠BHE，
∴sin∠CAB=sin∠BHE=$\frac{BE}{BH}$=$\frac{3}{5}$，
故选B．

点评 本题考查解直角三角形、切线的性质、垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．