Question

11．如图，△ABC 中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AC=3AE，写出求tanC的思路．

Answer 1

分析 （1）连接OD，求出OD∥AC，求出DF⊥OD，根据切线的判定得出即可；
（2）由AC=3AE可设AC=3x，AE=x，则AB=AC=3x，EC=4x；连结BE，由AB是直径可知∠AEB=90°，根据勾股定理求出BE，解直角三角形求出即可．

解答 （1）证明：连接OD，

∵AB为直径∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∴∠C=∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∵OD为半径，
∴DF是⊙O的切线；

（2）解：思路是：

连接BE，
∵AC=3AE，AB=AC，
∴设AE=x，AC=AB=3x，
∵AB是直径，
∴∠E=90°，
在Rt△BEA中，由勾股定理得：BE=$\sqrt{（3x）^{2}-（x）^{2}}$=2$\sqrt{2}$x，
在Rt△ECB中，tanC=$\frac{BE}{CE}$=$\frac{2\sqrt{2}x}{4x}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定和解直角三角形，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，综合性比较强．