Question

3．已知，如图，在△ABC中，CA=CB，AE、BD分别平分∠CAB和∠CBA，交CB、CA于点E、D，EF、DG分别平分∠CED和∠CDE，交CB、CA于点G、F，BD与AE交于点M，EF与DG交于点N，求证：四边形DMEN是菱形．

Answer 1

分析 先证明△ABD≌△BAE，得出AD=BE，BD=AE，得出DM=EM，CD=CE，得出∠CDE=∠CED，由三角形内角和定理得出∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED，由角平分线的定义得出∠CDG=∠CEF=∠DAE=∠EBD，得出DG∥AE，EF∥BD，证出四边形DMEN是平行四边形，再由DM=EM，即可得出四边形DMEN是菱形．

解答 证明：∵CA=CB，
∴∠CAB=∠CBA，
∵AE、BD分别平分∠CAB和∠CBA，
∴∠DAE=∠BAE=∠EBD=∠ABD=$\frac{1}{2}$∠CAB=$\frac{1}{2}$∠CBA，
∴AM=BM，
在△ABD和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠ABE}&{\;}\\{AB=BA}&{\;}\\{∠ABD=∠BAE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BAE（ASA），
∴AD=BE，BD=AE，
∴DM=EM，CD=CE，
∴∠CDE=∠CED，
∵∠CAB+∠CBA+∠C=180°，∠CDE+∠CED+∠C=180°，
∴∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED，
∵EF、DG分别平分∠CED和∠CDE，
∴∠CDG=∠CEF=$\frac{1}{2}$∠CDE=$\frac{1}{2}$∠CED，
∴∠CDG=∠CEF=∠DAE=∠EBD，
∴DG∥AE，EF∥BD，
∴四边形DMEN是平行四边形，
又∵DM=EM，
∴四边形DMEN是菱形．

点评 本题考查了等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定方法、菱形的判定方法；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．