Question

15．已知[x]表示不大于x的最大的正整数，若a=1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2009}}$，求[$\sqrt{a}$]．

Answer 1

分析 根据数的大小比较可得2（$\sqrt{k+1}$-$\sqrt{k}$）=$\frac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}$＜$\frac{1}{\sqrt{k}}$＜$\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}$=2（$\sqrt{k}$-$\sqrt{k-1}$），依此将a变形可求a的范围，再根据[x]表示不大于x的最大的正整数，由二次根式的定义求解．

解答 解：∵2（$\sqrt{k+1}$-$\sqrt{k}$）=$\frac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}$＜$\frac{1}{\sqrt{k}}$＜$\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}$=2（$\sqrt{k}$-$\sqrt{k-1}$），
∴a＜1+2（$\sqrt{2}$-1）+2（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）+…+2（$\sqrt{2009}$-$\sqrt{2008}$）
=1+2（$\sqrt{2009}$-1）
=2$\sqrt{2009}$-1
≈89.64-1
=88.64；
a＞2（$\sqrt{2}$-1）+2（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）+…+2（$\sqrt{2010}$-$\sqrt{2009}$）
=2（$\sqrt{2010}$-1）
=2$\sqrt{2010}$-2
≈89.67-2
=87.67；
∴87.67＜a＜88.64，
∴9.36＜$\sqrt{a}$＜9.41，
∴[$\sqrt{a}$]=9．

点评 考查了估算无理数的大小，本题关键是熟悉2（$\sqrt{k+1}$-$\sqrt{k}$）=$\frac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}$＜$\frac{1}{\sqrt{k}}$＜$\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}$=2（$\sqrt{k}$-$\sqrt{k-1}$）的知识点．