Question

20．如图所示，在△ABC中，AB=AC，BC的延长线上有一点D，CD=BC，CE⊥BD于点C，交AD于点E，BE交AC于点F．
证明：（1）△BCF∽△DBA；
      （2）AF=CF．

Answer 1

分析 （1）首先利用等边对等角得出∠ABC=∠ACB，再利用线段垂直平分线的性质得出BE=DE，进而得出△BCF∽△DBA；
（2）由△BCF∽△DBA，得到$\frac{BC}{CD}=\frac{CF}{AB}$，由于BC=$\frac{1}{2}$CD，于是得到$\frac{CF}{AB}=\frac{1}{2}$，求得CF=$\frac{1}{2}$AC，即可得到结论．

解答 证明：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BC=CD，EC⊥BD，
∴BE=DE，
∴∠EBC=∠D，
∴△BCF∽△DBA；

（2）∵△BCF∽△DBA，
∴$\frac{BC}{CD}=\frac{CF}{AB}$，
∵BC=CD，
∴BC=$\frac{1}{2}$CD，
∴$\frac{CF}{AB}=\frac{1}{2}$，
∴CF=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=AC，
∴CF=$\frac{1}{2}$AC，
∴AF=CF．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据已知得出∠EBC=∠D是解题关键．