Question

11．如图，A，B是⊙O上两点，C为OB延长线上一点，且AB=BC=OB．求证：直线AC与⊙O相切．

Answer 1

分析 根据已知条件得到△ABO是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠O=∠OAB=∠OBA=60°，由等腰三角形的性质得到∠C=∠BAC，由外角的性质得到∠ABO=∠C+∠BAC=60°，求得∠BAC=30°，得到∠CAO=∠CAB+∠OAB=90°，即可得到结论．

解答 证明：∵AB=OB，
∵OB=AO，
∴AB=OB=AO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠O=∠OAB=∠OBA=60°，
∵AB=BC，
∴∠C=∠BAC，
∵∠ABO=∠C+∠BAC=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠CAO=∠CAB+∠OAB=90°，
∴直线AC与⊙O相切．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．