Question

△ABC中，D是BC上一点，若

S△ABD

S△ABC

=

S△ACD

S△ABD

，则称AD为△ABC的黄金分割线．
（1）求证：若AD为△ABC的黄金分割线，则D是BC的黄金分割点；
（2）若S_△ABC=20，求△ACD的面积．（结果保留根号）

Answer 1

考点：黄金分割

专题：新定义

分析：（1）先由等高的两个三角形面积之比等于底之比，可得

S△ABD

S△ABC

=

BD

BC

，

S△ACD

S△ABD

=

CD

BD

，又因为

S△ABD

S△ABC

=

S△ACD

S△ABD

，等量代换得出

BD

BC

=

CD

BD

，根据黄金分割点的定义即可证明D是BC的黄金分割点；
（2）由（1）知

BD

BC

=

CD

BD

，那么BD=

5 -1

2

BC，DC=BC-BD=BC-

5 -1

2

BC=

3- 5

2

BC，又等高的两个三角形面积之比等于底之比

S△ACD

S△ABC

=

DC

BC

=

3- 5

2

，将S_△ABC=20代入，即可求出△ACD的面积．

解答：（1）证明：∵

S△ABD

S△ABC

=

BD

BC

，

S△ACD

S△ABD

=

CD

BD

，
又∵

S△ABD

S△ABC

=

S△ACD

S△ABD

，
∴

BD

BC

=

CD

BD

，
∴D是BC的黄金分割点；

（2）解：由（1）知

BD

BC

=

CD

BD

，
∴BD=

5 -1

2

BC，
∴DC=BC-BD=BC-

5 -1

2

BC=

3- 5

2

BC，
∵

S△ACD

S△ABC

=

DC

BC

=

3- 5

2

，
∴S_△ACD=

3- 5

2

S_△ABC=

3- 5

2

×20=30-10

5

．

点评：本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（

5 -1

2

）叫做黄金比．也考查了三角形的面积．