Question

如图，在平面直角坐标系中，点A（-6，0），点B（0，2

3

），点P在第二象限内，若以点P、B、O为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等的情况），则点P的坐标为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定,坐标与图形性质

专题：计算题

分析：由三角函数可求出∠A=30°，∠ABO=60°，作OP₁⊥AB于P₁，作P₁C⊥y轴，过点B作BP₂⊥y轴交OP₁于P₂，作∠ABO的平分线BD，过点O作OP₃⊥BD于P₃，过P₃作P₃E⊥x轴于E，如图，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△BP₁O∽△BOA，△P₂OB∽△BAO，△P₃OB∽△OBA，然后分别确定P₁、P₂、P₃的坐标．

解答：解：∵点A（-6，0），点B（0，2

3

），
∴OA=6，OB=2

3

，
∴tanA=

OB

OA

=

2 3

6

=

3

3

，
∴∠A=30°，
∴∠ABO=60°，
作OP₁⊥AB于P₁，作P₁C⊥y轴，过点B作BP₂⊥y轴交OP₁于P₂，作∠ABO的平分线BD，过点O作OP₃⊥BD于P₃，过P₃作P₃E⊥x轴于E，如图，
∵∠BP₁O=∠BOA=90°，∠P₁BO=∠OBA，
∴△BP₁O∽△BOA，
在Rt△OBP₁中，∵sin∠OBP₁=

OP1

OB

，
∴OP₁=2

3

sin60°=3，
在Rt△OP₁C中，∵∠P₁OC=30°，
∴P₁C=

1

2

OP₁=

3

2

，OC=

3

P₁C=

3 3

2

，
∴P₁点的坐标为（-

3

2

，

3 3

2

）；
∵∠P₂OB=∠A=30°，
∴△P₂OB∽△BAO，
在Rt△OP₂B中，∵∠P₂OB=30°，
∴P₂B=

3

3

OB=

3

3

×2

3

=2，
∴P₂点的坐标为（-2，2

3

）；
∵∠P₃BO=∠A=30°，
∴△P₃OB∽△OBA，
在Rt△OP₃B中，∵∠P₃BO=30°，
∴OP₃=

1

2

OB=

3

，∠P₃OB=60°，
∴∠P₃OE=30°，
在Rt△P₃OE中，P₃E=

1

2

OP₃=

3

2

，OE=

3

P₃E=

3

2

，
∴P₃点的坐标为（-

3

2

，

3

2

）；
综上所述，满足条件的P点坐标为（-

3

2

，

3 3

2

）或（-2，2

3

）或（-

3

2

，

3

2

）．
故答案为（-

3

2

，

3 3

2

）或（-2，2

3

）或（-

3

2

，

3

2

）．

点评：本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了坐标与图形性质、含30度的直角三角形三边的关系．根据题意画出几何图形是解题的关键．