Question

3．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，分别作CD⊥AB，BE⊥AC，EG⊥AB，DF⊥AC．求证：四边形MDNE是菱形．

Answer 1

分析 根据CD⊥AB，BE⊥AC，EG⊥AB，DF⊥AC先推得四边形DNEM为平行四形，再证明△BDC≌△BEC，可得DN=NE，由“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可证明四边形MDNE是菱形．

解答 证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，EG⊥AB，DF⊥AC，
∴DF∥NE，DN∥GE，
∴四边形DNEM为平行四形，
∵AB=AC，
∴∠DBC=∠ECB，
又∵∠BDC=∠BEC=90°，BC=CB，
∴在△BDC和△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDC=∠CEB=90°}\\{∠DBC=∠ECB}\\{BC=CB}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△BEC，
∴DC=BE，∠DCB=∠EBC，
∴BN=CN，
∴ND=NE，
∴四边形MDNE是菱形．

点评 本题考查了菱形的判定以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟记菱形的各种判定方法．