Question

12．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=$\frac{m}{x}$与一次函数y=kx+b的图象交于A、B两点，点A的坐标为（-3，2），BC⊥y轴于点C，且OC=6BC，直线AB交x轴于点D．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）写出不等式$\frac{m}{x}$＞kx+b的解集．

Answer 1

分析 （1）待定系数法把A点坐标代入反比例函数解析式计算即可得出反比例函数的解析式；然后设B（a，-6a），把B（a，-6a）代入求得的解析式即可求得b的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）求得D的坐标，然后根据S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD求得即可；
（3）根据图象即可求得．

解答 解：（1）∵一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于点A（-3，2），
∴2=$\frac{m}{-3}$，解得m=-6，
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{6}{m}$，
∵BC⊥y轴于点C，且OC=6BC，
∴设B（a，-6a），
把B（a，-6a）代入y=-$\frac{6}{x}$得，-6a=-$\frac{6}{a}$，
∴a²=1，
∴a=1
∴B（1，-6），
∵一次函数y=kx+b图象经过A（-3，2）、B（1，-6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=2}\\{k+b=-6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴一次函数y=-2x-4；
（2）由直线y=-2x-4可知D（-2，0），
∴S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD=$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{1}{2}$×2×6=8；
（3）不等式$\frac{m}{x}$＞kx+b的解集是：-3＜x＜0或x＞1．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式以及函数和不等式的关系，熟练掌握待定系数法是解题的关键．