Question

13．如图，正方形OABC的边长为6，A，C分别位于x轴、y轴上，点P在AB上，CP交OB于点Q，函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点Q，若S_△BPQ=$\frac{1}{4}$S_△OQC，则k的值为（　　）

• A． -12
• B． 12
• C． 16
• D． 18

Answer 1

分析 由PB∥OC可得出△PBQ∽△COQ，结合三角形面积比等于相似比的平方可得出PB=PA=$\frac{1}{2}$OC，结合正方形OABC的边长为6可得出点C、点P的坐标，利用待定系数法即可求出直线CP的函数解析式，联立直线OB与直线CP的函数解析式即可得出点Q的坐标，利用待定系数法即可求出k值．

解答 解：∵PB∥OC（四边形OABC为正方形），
∴△PBQ∽△COQ，
∴$\frac{{S}_{△BPQ}}{{S}_{△OQC}}$=$（\frac{PB}{OC}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，
∴PB=PA=$\frac{1}{2}$OC=3．
∵正方形OABC的边长为6，
∴点C（0，6），点P（6，3），直线OB的解析式为y=x①，
∴设直线CP的解析式为y=ax+6，
∵点P（6，3）在直线CP上，
∴3=6a+6，解得：a=-$\frac{1}{2}$，
故直线CP的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+6②．
联立①②得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-\frac{1}{2}x+6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴点Q的坐标为（4，4）．
将点Q（4，4）代入y=$\frac{k}{x}$中，得：
4=$\frac{k}{4}$，解得：k=16．
故选C．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是求出点Q的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方结合给定条件求出点Q的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可．