Question

15．（1）如图，把长方形沿ABCD对角线折叠，重合部分为△EBD．
①求证：△EBD为等腰三角形；
②若AB=12，BC=18，求AE．
（2）如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC上，已知AB=8cm，CE=4cm，求AD．

Answer 1

分析 （1）①根据矩形的性质得到∠BAE=∠DCE，AB=CD，再由对顶角相等可得∠AEB=∠CED，推出△AEB≌△CED，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
②根据勾股定理列方程即可得到结论；
（2）由四边形ABCD为矩形，AB=8cm，CE=4cm，由折叠的性质，即可得AE=AD，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理求得AE的长，即可得AD的长．

解答 解：（1）①∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAE=∠DCE，AB=CD，
在△AEB和△CED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠DCE}\\{∠AEB=∠CED}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△CED（AAS），
∴BE=DE，
∴△EBD为等腰三角形．
②设AE=x，BE=18-x，
∵AB²+AE²=BE²，
即12²+x²=（18-x）²，
∴x=5，
∴AE=5；
（2）∵折叠长方形ABCD的一边AD，点D落在BC边的E处，
∴AD=AE，设AD=xcm，
则BE=（x-4）cm，
在Rt△ABE中，AE²=AB²+EB²，
即x²=8²+（x-4）²，
解得x=10，
即AD的长为：10cm．

点评 本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．