Question

7．已知抛物线y=ax²-4ax+b与x轴的一个交点A的坐标为（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）当a=-1时，将抛物线向上平移m个单位后经过点（5，-7）．
①求m的值及平移前、后抛物线的顶点P、Q的坐标．
②设平移后抛物线与y轴交于点D，问：在平移后的抛物线上是否存在点E，使得△ECD的面积是△EPQ的3倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将A（0，3）代入y=ax²-4ax+b中，得b=3a，可得y=ax²-4ax+3a．令y=0时，得ax²-4ax+3a=0解方程即可解决问题．
（2）①当a=-1时，y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1，平移前抛物线的顶点坐标为（2，1），因为平移后抛物线的解析式为y=-（x-2）²+1+m，且经过点（5，-7），利用待定系数法求出m的值即可解决问题．
②存在．分三种情形讨论即可．a、当点E位于对称轴右侧时，如图，则有3（x₀-2）=x₀．b、当点E位于对称轴与y轴之间时，则有3（2-x₀）=x₀．c、当点E位于y轴左侧时，则有3（2-x₀）=-x₀．分别解方程即可解决问题．

解答 解：（1）将A（0，3）代入y=ax²-4ax+b中，得b=3a，
∴y=ax²-4ax+3a．
当y=0时，ax²-4ax+3a=0．
解得x=1或x=3，
∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（1，0）．

（2）①当a=-1时，y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1，
∴平移前抛物线的顶点坐标为（2，1），
∵平移后抛物线的解析式为y=-（x-2）²+1+m，且经过点（5，-7），
∴m=1，
∴y=-（x-2）²+2，
∴平移后抛物线的顶点Q的坐标为（2，2），

②存在．理由如下，如图，

由平移可知PQ=CD，
∴要使S_△EPQ=3S_△EPQ只需要CD上的高是PQ上的高的3倍．
设点E（x₀，y₀），由①知平移前、后抛物线的对称轴均为直线x=2．
a、当点E位于对称轴右侧时，如图，则有3（x₀-2）=x₀．
∴x₀=3，y₀=1，
∴点E的坐标为（3，1）…（8分）
b、当点E位于对称轴与y轴之间时，则有3（2-x₀）=x₀．
∴x₀=$\frac{3}{2}$，y₀=$\frac{7}{4}$
∴点E的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{7}{4}$）．
c、当点E位于y轴左侧时，则有3（2-x₀）=-x₀．
∴x₀=3＞0，与点E位于y轴左侧矛盾，故此情况不存在
综上所述，点E的坐标为（3，1）或（$\frac{3}{2}$，$\frac{7}{4}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、平移变换、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会把问题转化为方程解决，属于中考压轴题．