Question

17．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线FH分别交AD、BC于点E、F，交BA延长线于点H，且EF⊥BD，连接BE、DF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AC⊥AB，AB=3，BC=5，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，OB=OD，OA=OC，AD=BC，由ASA证明△ODE≌△OBF，得出DE=BF，证出四边形BEDF是平行四边形，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=4，得出OA=$\frac{1}{2}$AC=2，证明△ABO∽△AOH，得出对应边成比例求出AH=$\frac{4}{3}$，求出BH=AB+AH=$\frac{13}{3}$，再证明△AEH∽△BFH，得出$\frac{AE}{BF}=\frac{AH}{BH}$=$\frac{4}{13}$，即可得出答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OB=OD，OA=OC，AD=BC，
∴∠ODE=∠OBF，
在△ODE和△OBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ODE=∠OBF}&{\;}\\{OD=OB}&{\;}\\{∠DOE=∠BOF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ODE≌△OBF（ASA），
∴DE=BF，
又∵AD∥BC，
∴四边形BEDF是平行四边形，
又∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）解：∵DE=BF，AD=BC，
∴AE=CF，
∵AC⊥AB，AB=3，BC=5，
∴AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=4，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=2，
∵AC⊥AB，EF⊥BD，
∴∠BAO=∠HAO=90°，∠ABO+∠AOB=90°，∠AOH+∠AOB=90°，
∴∠ABO=∠AOH，
∴△ABO∽△AOH，
∴$\frac{OA}{AH}=\frac{AB}{OA}$，即$\frac{2}{AH}=\frac{3}{2}$，
解得：AH=$\frac{4}{3}$，
∴BH=AB+AH=$\frac{13}{3}$，
∵AD∥BC，
∴△AEH∽△BFH，
∴$\frac{AE}{BF}=\frac{AH}{BH}$=$\frac{4}{13}$，
即$\frac{AE}{5-AE}=\frac{4}{13}$，
解得：AE=$\frac{20}{17}$．

点评 本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．