Question

2．如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，连结AD₁，BC₁，若∠ACB=30°，AB=1，CC₁=x（0＜x＜2），△ACD与△A₁C₁D₁重叠部分的面积为S，则下列结论：
①△A₁AD₁≌△CC₁B；
②当x=1时，△BDD₁为直角三角形；
③在平移过程中，四边形ABC₁D₁始终是平行四边形；
④S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x-2）²（0＜x＜2）；
其中正确的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由矩形的性质及平移的性质易得∠A₁=∠DAC，A₁D₁=AD，AA₁=CC₁，结论显然；②由所给条件可证明△AC₁B是等边三角形，ABC₁D₁自然是菱形；易得△AC₁F∽△ACD，根据面积比等于相似比平方可得出s与x的函数关系式．

解答 解：∵四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD，BC∥AD，
∴∠DAC=∠ACB，
∵把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，
∴∠A₁=∠DAC，A₁D₁=AD，AA₁=CC₁，
在△A₁AD₁与△CC₁B中，$\left\{\begin{array}{l}{A{A}_{1}=C{C}_{1}}\\{∠{A}_{1}=∠ACB}\\{{A}_{1}{D}_{1}=CB}\end{array}\right.$
∴△A₁AD≌△CC₁B，故①正确．
②∵∠ACB=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AB=1，
∴AC=2，
∵x=1，
∴AC₁=1，
∴△AC₁B是等边三角形，
∴AB=D₁C₁，
又AB∥BC₁，
∴四边形ABC₁D₁是菱形，
∴BD₁⊥AC₁．
又∵DD₁∥AC₁，
∴BD₁⊥DD₁．
∴△BDD₁为直角三角形，故②正确．
∵四边形ABC₁D₁是菱形，
∴四边形ABC₁D₁是平行四边形，故③正确．
如图所示：

∵C₁D₁∥CD，
∴△AC₁F∽△ACD，
∴$\frac{{S}_{△A{C}_{1}F}}{{S}_{△ACD}}$=（$\frac{2-x}{2}$）²，
∴S=$\frac{1}{2}$DC•AD•（$\frac{2-x}{2}$）²=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$•（$\frac{2-x}{2}$）²=$\frac{\sqrt{3}}{8}$（2-x）²．故④错误．
故选：C．

点评 本题考查了矩形的性质、平移变换、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定、相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，难度中等．清楚矩形、菱形等基本几何图形的性质以及平移变换的特征是解决本题的关键．