Question

12．如图，在矩形ABCD中，若延长AD至点E，延长CB至点F，并使得DE=BF，连接AF、CE及DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若DE=3，CD=4，AD=5，求证：DF平分∠AFC．

Answer 1

分析 （1）依据矩形的性质可知AD∥BC，且AD=BC，然后再证明AE=FC即可；
（2）依据勾股定理可求得CE=5，由矩形的性质可求得AF的长，于是得到AF=AD，然后依据等腰三角形的性质和平分线的性质进行证明即可．

解答 证明：（1）∵ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD=BC．
∵DE=BF，
∴AD+DE=BC+FB，即AE=FC．
又∵AE∥FC，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）∵ABCD为矩形，
∴∠CDE=90°．
∴CE=$\sqrt{D{C}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
∵四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE=5．
又∵AD=5，
∴AD=AF．
∴∠AFD=∠ADF．
∵AD∥FC，
∴∠ADF=∠DFC．
∴∠AFD=∠DFC．
∴FD平分∠AFC．

点评 本题主要考查的是矩形的性质、平行四边形的判定、勾股定理的应用，熟练掌握相关性质是解题的关键．