Question

5．如图，在矩形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的点，若∠1=∠2=∠3=∠4，则称四边形EFGH为矩形ABCD的反射四边形．
（1）如图1，求证：反射四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，若AB=6，BC=8，求反射四边形EFGH的周长．

Answer 1

分析 （1）根据两角对应相等的四边形是平行四边形证明得结论；
（2）作辅助线，构建直角三角形ENM，求得EN=8，MN=6，可得结论．

解答 证明：（1）如图1，∵∠1=∠2=∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠HGF=180°，∠3+∠4+∠HEF=180°，
∴∠HGF=∠HEF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴∠AHE=∠DHG=∠GFC=∠EFB，
同理得：∠EHG=∠EFG，
∴反射四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，延长EF、DC交于M，过E作EN⊥DC于N，
∴EN=AD=8，
∵AB∥DC，
∴AB∥DM，
∴∠M=∠4，
∵∠2=∠4，
∴∠M=∠2，
∴GF=FM，
∵FC⊥FM，
∴CG=CM，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴EF=GH，
∵∠B=∠D，∠4=∠1，
∴△BEF≌△DGH，
∴DG=BE，
∵BE=CN，
∴DG=CN，
∴CM+CN=CG+DG=6，
即MN=6，
在Rt△ENM中，EM=10，
即EF+FG=10，
∴反射四边形EFGH的周长=2×10=20．

点评 本题考查了平行四边形的性质和判定、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、三角形全等的性质和判定，第一问熟练掌握平行四边形的判定方法是关键；第二问辅助线的作法是关键．