Question

8．已知：如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为⊙O的直径作圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若AB=3，BC=4，求△DEC的面积．

Answer 1

分析 （1）连结OD、BD，如图，由圆周角定理得∠ADB=90°，再利用直角三角形斜边上的中线性质得ED=EB=EC，则根据等腰三角形的性质得∠3=∠4，加上∠1=∠2，于是可得到∠ODE=90°，则OD⊥DE，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）先利用勾股定理计算出AC=5，再利用面积法计算出BD=$\frac{12}{5}$，接着再利用勾股定理计算出CD=$\frac{16}{5}$，则利用三角形面积公式计算出S_△BDC⁼$\frac{96}{25}$，然后利用BE=CE得到S_△CDE=$\frac{1}{2}$S_△BEC=$\frac{48}{25}$．

解答 （1）证明：连结OD、BD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴△BDC为直角三角形，
而E是BC的中点，
∴ED=EB=EC，
∴∠3=∠4，
而OB=OD，
∴∠1=∠2，
∴∠2+∠4=∠1+∠3=90°，即∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵$\frac{1}{2}$BD•AC=$\frac{1}{2}$AB•AC，
∴BD=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
在Rt△BDC中，CD=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
∴S_△BDC=$\frac{1}{2}$•$\frac{12}{5}$•$\frac{16}{5}$=$\frac{96}{25}$，
∵BE=CE，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}$S_△BEC=$\frac{48}{25}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．