Question

18．已知⊙O，AB是直径，AB=4，弦CD⊥AB且过OB的中点，P是劣弧BC上一动点，DF垂直AP于F，则P从C运动到B的过程中，F运动的路径长度（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$π
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{2}{3}$π
• D． 2

Answer 1

分析 作DQ⊥AC于Q，如图，当P点在C点时，F点与Q重合；当P点在B点时，F点与E点重合，利用圆周角定理的推论判断点F在以AD为直径的圆上，则点F运动的路径为$\widehat{QE}$，再计算MQ的长度和∠QME的度数，然后根据弧长公式计算F运动的路径长度．

解答 解：作DQ⊥AC于Q，如图，
当P点在C点时，F点与Q重合；当P点在B点时，F点与E点重合，
∵∠AFD=90°，
∴点F在以AD为直径的圆上，
∴点F运动的路径为$\widehat{QE}$，
∵弦CD⊥AB且过OB的中点，
∴OE=$\frac{1}{2}$OD，CE=DE=$\sqrt{3}$，AC=AC=2$\sqrt{3}$，
∴∠DOE=60°，
∴∠DAC=60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴MQ和ME为中位线，
∴MQ=$\sqrt{3}$，∠QME=60°，
∴F运动的路径长度=$\frac{60•π•\sqrt{3}}{180}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选A．

点评 本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形叫这个点运动的轨迹．也考查了垂径定理和圆周角定理．