Question

13．如图，已知在△ABC中，BD是角平分线，∠C=90°，∠ABC=∠BAC，O是边BD上一点，OM⊥BC于点M，ON⊥AC于点N，且OM=ON，过点O作OP⊥AB于点P．
（1）求∠ABD的度数；
（2）求证：AO平分∠BAC；
（3）判断BM与AN之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据△ABC是等腰直角三角形，BD是角平分线可得∠ABD的度数为22.5°；
（2）根据角平分线的性质定理以及它的逆定理，可得AO平分∠BAC；
（3）根据∠OAP=∠OBP=22.5°，可得AO=BO，再根据HL即可判定Rt△BOM≌Rt△AON，进而得出AN=BM．

解答 解：（1）∵△ABC中，∠C=90°，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
又∵BD是角平分线
∴∠ABD的度数为22.5°；

（2）证明：∵OB平分∠CBA，OM⊥BC，OP⊥AB，
∴OM=OP，
∵OM=ON，
∴ON=OP，
又∵ON⊥AC，OP⊥AB，
∴AO平分∠BAC；

（3）BM与AN之间的数量关系：BM=AN．
理由：∵AO平分∠BAC，
∴∠OAP=22.5°，
又∵∠ABD的度数为22.5°，
∴∠OAP=∠OBP，
∴AO=BO，
又∵OM=ON，
∴在Rt△BOM和Rt△AON中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=BO}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
∴Rt△BOM≌Rt△AON（HL），
∴AN=BM．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是掌握：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．