Question

1．观察下列一组数：$\frac{1}{6}$，$\frac{4}{25}$，$\frac{8}{62}$，$\frac{13}{123}$…，它们是按一定规律描列的，那么这一组数的第n²个数是$\frac{\frac{1}{2}{n}^{4}+\frac{3}{2}{n}^{2}-1}{{n}^{6}+{3n}^{4}+{3n}^{2}-1}$．

Answer 1

分析 首先根据已知发现分子的变化规律为1+3=4，4+4=8，8+5=13，13+6=19，…第n项的分子为1+3+4+5+…+（n+1）=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n-1；分母为6=2³-2，25=3³-2，62=4³-2，123=5³-2，…第n项的分母为（n+1）³-2=n³+3n²+3n-1，由此可得第n项；易得n²项．

解答 解：由已知得，
分子为1+3=4，4+4=8，8+5=13，13+6=19，
…
∴第n项的分子为1+3+4+5+…+（n+1）=1+$\frac{1}{2}$（3+n+1）（n-1）=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n-1，
分母为6=2³-2，25=3³-2，62=4³-2，123=5³-2，
…
∴第n项的分母为（n+1）³-2=n³+3n²+3n-1，
∴第n个数为$\frac{\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{3}{2}n-1}{{n}^{3}+{3n}^{2}+3n-1}$
∴n²个数为：$\frac{\frac{1}{2}{n}^{4}+\frac{3}{2}{n}^{2}-1}{{n}^{6}+{3n}^{4}+{3n}^{2}-1}$．
故答案为：$\frac{\frac{1}{2}{n}^{4}+\frac{3}{2}{n}^{2}-1}{{n}^{6}+{3n}^{4}+{3n}^{2}-1}$．

点评 本题主要考查了数字的变化规律，发现分子分母的变化规律，求出第n个数是解答此题的关键．