题目内容

如图，在平面直角坐标系中，点A（1，0），点B（1，
3
），以AB为边在AB的右边作矩形ABCD，连技OB、BD，过D点作线段BO的垂线，垂足为F，交AB于点E．设AD=m．
（1）求m=
 
时，△OAB≌△EAD；
（2）在（1）的条件下求过O、E、D三点的抛物线的解析式；
〔3）当点F为BO的中点时，求m的值；
（4）在（3）的条件下，在直线DF上是否存在点M使△BDM是等腰三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在．请说明理由．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）可先假设△OAB≌△EAD，根据全等三角形的性质求出m的值．
（2）求出D，E，O的坐标用待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）由点F为BO的中点，推出DO=DB，在RT△BAD中，运用勾股定理求出m的值．
（4）先求出OF=BF和∠BDF=∠ODF=30°，然后分3种情况讨论，①当BM=BD=2时，②当BM=DM时，③当DM=BD=2时，分别求出点M的坐标即可．
解答：解：（1）若△OAB≌△EAD，
∴AD=AB，
∵点B（1，
3
），
∴AB=
3
，
∴当m=
3
时，△OAB≌△EAD；
故答案为：
3
．
（2）∵由（1）知△OAB≌△EAD；
∴OA=EA，
∴点E的坐标为（1，1）
∵O（0，0），D（1+
3
，0），
设y=ax2+bx+c
则
c=0
a+b+c=1
(1+
3
)2a+(1+
3
)b+c=0
，
解得
a=-
3
3
b=
3+
3
3
c=0

∴y=-
3
3
x2+
3+
3
3
x．
（3）如图1，

∵DF⊥BO，OF=BF，
∴DO=DB，
在RT△BAD中，BD2=AD2+AB2，
∴（1+m）2=m2+（
3
）2，
解得m=1，
（4）当m=1时，OD=2OA=BD=
12+(
3
)2
=2，
∵△OBD是等边三角形，
∴OF=BF，
∴∠BDF=∠ODF=30°，
①当BM=BD=2时，如图2

∵∠BMD=∠BDM=∠ODF=30°，
∴BM∥DO，
∴M，B，C共线，
∴M（-1，
3
）
②如图3，当BM=DM时，

∵∠MBD=∠MDB=30°，
∴点M与点E重合，
∴点M（1，
3
3
），
③如图4，当DM=BD=2时，过点M作MN⊥OD垂足为N，

∵ND=MDcos∠MDN=2×
3
2
=
3
，
∴|MN|=MD•sin∠MDN=2×
1
2
=1，
∴ON=2+
3
，
∴M（2+
3
，-1）
如图5，当DM=BD=2时，过点M作MN⊥OD垂足为N，

∵ND=MDcos∠MDN=2×
3
2
=
3
，
∴|MN|=MD•sin∠MDN=2×
1
2
=1，
∴ON=2-
3
，
∴M（2-
3
，1）
∴M（2-
3
，1）或M（2+
3
，-1）．
点评：本题主要考查了二次函数综合题，解题的关键是明确点M使△BDM是等腰三角形的不同种情况．再分别求出M的坐标．
练习册系列答案
相关题目
下列各式中，正确的是个数有（　　）
①
2
+2=2
2
；②
a
+
ab
=a+b；③
1
2
+
2
=
3
2
2
；④3
a
+2
a
=5
a
．
A、1个B、2个C、3个D、0个
如图，在平面直角坐标系中，点A，B在第一象限，AB∥x轴，AB=2，点Q（6，0），根据图象回答：
（1）点B的坐标是
 
；
（2）分别求出OA，BC所在直线的解析式；
（3）P是一动点，在折线OABC上沿O→A→B→C运动，不与O、C重合，点P（x，y），△OPQ的面积为S，求S与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．
如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求∠ACE的度数；
（3）请直接写出四边形ABFE是哪种特殊的四边形．
如图，已知二次函数y=ax2+bx-
3
2
（a≠0）的图象经过点A，点B．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若反比例函数y=
2
x
（x＞0）的图象与二次函数y=ax2+bx-
3
2
（a≠0）的图象在第一象限内交于点C（p，q），p落在两个相邻的正整数之间，请你直接写出这两个相邻的正整数；
（3）若反比例函数y=
k
x
（x＞0，k＞0）的图象与二次函数y=ax2+bx-
3
2
（a≠0）的图象在第一象限内交于点D（m，n），且2＜m＜3，试求实数k的取值范围．
阅读短文：利用列方程可将循环小数化为分数，如求0.
•
5
=？
方法是：设x=0.
•
5
，即x=0.555…，将方程两边同乘以10，
得10x=5.55…，即10x=5+0.555…，
而x=0.555…，∴10x=5+x∴x=
5
9
．∴0.
•
5
=
5
9

试根据上述方法：将0.
•
3
•
6
化为分数．
如图，AB∥DC，∠ABD=30°，∠ADB=85°，求∠ADC和∠A的角度．
已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），且A、B两点的横坐标是方程x2+4x-12=0的两个根．抛物线与y轴的正半轴交于点C，且OC=AB．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式；
（4）对于（3），试说明S是否存在最大值或最小值？若存在，请求出此值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．
已知：一次函数y=kx+b的图象过点（-1，3），（3，1）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）画出这个函数的图象，并求出它与坐标轴的交点；
（3）求原点到直线y=kx+b的距离．

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