已知点P(2.3)是反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上的点．过点P作一条直线和该图象有且只有一个公共点.且和x.y轴分别交于A.B两点．(1)求该直线的解析式,(2)Q是反比例函数在第三象限图象上的动点.过点Q作直线与反比例函数的图象有且只有一个公共点.且和x.y轴分别交于C.D两点.判断直线AD.BC的位置关系.并加以证明．(3)判� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．已知点P（2，3）是反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上的点．过点P作一条直线和该图象有且只有一个公共点，且和x，y轴分别交于A，B两点．
（1）求该直线的解析式；
（2）Q是反比例函数在第三象限图象上的动点，过点Q作直线与反比例函数的图象有且只有一个公共点，且和x，y轴分别交于C，D两点，判断直线AD，BC的位置关系，并加以证明．
（3）判断四边形ABCD面积最小时的形状，并加以证明．

分析（1）把P的坐标代入即可求出反比例函数的解析式，设直线解析式为y=ax+b，把P（2，3）代入得出y=kx+3-2k，联立直线与反比例解析式得出方程kx²+（3-2k）x-6=0，根据根与系数的关系求出k，即可求出直线的解析式；
（2）由（1）求出的直线y=-$\frac{3}{2}$x+6，求出A和B的坐标，得出OA=4，OB=6，设直线CD的解析式为y=mx+n，可得$\left\{\begin{array}{l}{y=mx+n}\\{y=\frac{6}{x}}\end{array}\right.$只有一个解，继而证得$\frac{OA}{OC}=\frac{OD}{OB}$，则可证得结论；
（3）设OC=t，则OD=$\frac{24}{t}$，根据S_{四边形ABCD}=S_△BCD+S_△BDA得出S=3t+$\frac{48}{t}$+24，化成顶点式即可求出t，根据菱形的判定推出即可．

解答（1）解：将P的坐标代入反比例解析式得：3=$\frac{k}{2}$，即k=6，
则反比例函数解析式为y=$\frac{6}{x}$，
设直线解析式为y=ax+b，
∵把P（2，3）代入得：3=2k+b，
即b=3-2k，
∴y=kx+3-2k，
联立直线与反比例解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3-2k}\\{y=\frac{6}{x}}\end{array}\right.$，
消去y整理得：kx²+（3-2k）x-6=0，
由题意得到方程有两个相等的实数根，得到△=（3-2k）²+24k=9-12k+4k²+24k=9+12k+4k²=（2k+3）²=0，
解得：k=-$\frac{3}{2}$，
∴直线为：y=-$\frac{3}{2}$x+6；

（2）AD∥BC．理由：证明：由（1）求出的直线y=-$\frac{3}{2}$x+6，令x=0，得到y=6；令y=0，得到x=4，
则A（4，0），B（0，6），即OA=4，OB=6，
设直线CD的解析式为y=mx+n，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=mx+n}\\{y=\frac{6}{x}}\end{array}\right.$只有一个解，
消去y整理得：mx²+nx-6=0，
△=n²+24m=0，
-$\frac{{n}^{2}}{m}$=24，
OC•OD=$\frac{n}{m}$•（-n）=24=OA•OB，即$\frac{OA}{OC}=\frac{OD}{OB}$，
∴AD∥BC；

（3）四边形ABCD为菱形．理由：证明：设OC=t，则OD=$\frac{24}{t}$，
S_{四边形ABCD}=S_△BCD+S_△BDA=$\frac{1}{2}$×（6+$\frac{24}{t}$）×t+$\frac{1}{2}$×（6+$\frac{24}{t}$）×4
=3t+$\frac{48}{t}$+24
=3（$\sqrt{t}$-$\frac{4}{\sqrt{t}}$）²+48，
则当$\sqrt{t}$-$\frac{4}{\sqrt{t}}$=0，即t=4时，四边形ABCD面积最小，
此时OA=OC=4，OB=OD=6，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形．