Question

18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．直角∠EPF的顶点P是BC中点，PE、PF分别交AB、AC于点E、F．给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S_{四边形AEPF}=$\frac{1}{2}$S_△ABC；④EF=AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有 （　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由等腰直角三角形的性质可得∠B=∠C=45°，AP=BP=CP，∠BAP=∠CAP=45°，AP⊥BC，
由直角三角形的两个锐角互余，可得∠EPA=∠FPC，所以△EPA≌△FPC，所以①②③都得到证明．
当EF是三角形ABC的中位线时，才有EF=AP．

解答 解：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°，
∵P为边BC的中点，
∴AP=BP=CP，∠BAP=∠CAP=45°，AP⊥BC，
∴∠EAP=∠C，
又∵∠EPA+∠APF=90°，∠FPC+∠APF=90°，
∴∠EPA=∠FPC，
在△EPA和△FPC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAP=∠C}\\{AP=PC}\\{∠EPA=FPC}\end{array}\right.$
∴△EPA≌△FPC（ASA），
∴AE=CF，EP=FP，所以①正确；
∴△EPF是等腰直角三角形，所以②正确；
∵四边形AEPF的面积等于△APC的面积，
∴2S_{四边形AEPF}=S_△ABC，所以③正确；
又∵EF=$\frac{PF}{2}$，
而只有F点为AC的中点时，AP=$\frac{PF}{2}$
即点F为AC的中点时有EF=AP，所以④不一定正确．
所以当∠EPF在ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有①②③，共3个．
故选C．

点评 本题考查了三角形全等的证明、直角等腰三角形的性质、以及三角形的中位线定理．解决本题的关键是利用直角三角形的性质，说明△EPA≌△FPC．