Question

8．如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=120°，点P是底边AC上的一个动点，M、N分别是AB、BC的中点，若PM+PN的最小值为2，则△ABC的周长是（　　）

• A． 2+$\sqrt{3}$
• B． 4
• C． 4+2$\sqrt{3}$
• D． 12

Answer 1

分析 首先要明确P点在何处，作点M关于AC的对称点M′，根据勾股定理求出MN的长，由三角形中位线的性质及三角函数分别求出AB、BC、AC的长，从而得到△ABC的周长．

解答 解：作M点关于AC的对称点M′，连接M'N，与AC的交点即是P点的位置，
∵M，N分别是AB，BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN∥AC，MN=$\frac{1}{2}$AC，
∴$\frac{PM′}{PN}$=$\frac{KM′}{KM}$=1，
∴PM′=PN，
∴MP=PN，
在△MBP和△NBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BN=BM}\\{BP=BP}\\{PN=PM}\end{array}\right.$，
∴△MBP≌△NBP（SSS），
∴∠ABP=∠CBP=60°，
∵AB=BC，
∴AP=PC，
即：当PM+PN最小时P在AC的中点，
∵PM+PN的最小值为2，
在Rt△PMK中，PM=1，∠MPK=30°，
∴KM=$\frac{1}{2}$，PK=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，MN=2PK=$\sqrt{3}$
∴AC=2$\sqrt{3}$，
AB=BC=2PM=2PN=2，
∴△ABC的周长为：2+2+2$\sqrt{3}$=4+2$\sqrt{3}$．
故选C．

点评 本题考查等腰三角形的性质和轴对称最短路线，及三角函数等知识的综合应用．正确确定P点的位置是解题的关键．